|
|
 |
Условие
В остроугольном треугольнике соединены основания высот. Оказалось, что в полученном треугольнике две стороны параллельны сторонам исходного треугольника. Докажите, что третья сторона также параллельна одной из сторон исходного треугольника.
Решение
Пусть AA1, BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC, A1C1 || AC и A1B1 || AB.
Первый способ. Точки A1 и C1 лежат на окружности с диаметром AC. Поэтому AC1A1C – вписанная трапеция, значит, она равнобедренная, то есть ∠A = ∠C. Аналогично доказывается, что ∠A = ∠B.
Таким образом, треугольник ABC – равносторонний. Значит, B1C1 || BC.
Второй способ. (A. Liu) Прямые CC1 и BB1 содержат высоты треугольника A1B1C1. Значит, ортоцентры треугольников ABC и A1B1C1 совпадают, откуда следует, что AA1 ⊥ B1C1, то есть B1C1 || BC.
Замечания
2 балла
