ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108040
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Табов Й.

Даны две окружности, лежащие одна вне другой. Пусть A1 и A2 – наиболее удалённые друг от друга точки пересечения этих окружностей с их линией центров, так что A1 лежит на первой окружности, а A2 – на второй. Из точки A1 проведены два луча, касающиеся второй окружности, и построен круг K1, касающийся этих лучей и первой окружности изнутри. Из точки A2 проведены два луча, касающиеся первой окружности, и построен круг K2, касающийся этих лучей и второй окружности изнутри. Докажите, что круги K1 и K2 равны.


Подсказка

Используя подобие треугольников, выразите радиусы кругов K1 и K2 через радиусы данных окружностей и расстояние A1A2.


Решение

  Пусть R1 и R2 – радиусы первой и второй окружностей соответственно, O1 и O2 – центры этих окружностей, B1 – точка касания с кругом K1 луча с началом в точке A1, касающегося второй окружности в точке B2,  A1A2 = d,  1 – радиус круга K1 с центром Q, r2 – радиус круга K2 (см. рисунок).

  Из подобия треугольников A1B1Q и A1B2O2 следует, что     или      Отсюда  
  В силу симметрии r2 имеет то же значение.

.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4320
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1989/1990
Номер 11
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .