Найти геометрическое место центров вписанных в треугольник ABC прямоугольников (одна сторона прямоугольника лежит на AB).

   Решение

Какую фигуру образует множество всех вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание?

   Решение

Во вписанном четырёхугольнике ABCD длины сторон BC и CD равны. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна  ½ AC² sin∠A.

   Решение

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Площадь четырехугольника ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Во вписанном четырёхугольнике ABCD длины сторон BC и CD равны. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна  ½ AC² sin∠A.

Решение

Рассмотрим треугольник AEC, равный треугольнику CDA (точки B и E находятся по разные стороны прямой AC). Поскольку  ∠ACE = ∠CAD = ∠BAC,  то
AB || CE.  Кроме того,  AE = CD = BC,  то есть ABCE – равнобедренная трапеция. Угол между её диагоналями равен  2∠BAC = ∠A,  и согласно задаче 54962  S_ABCD = S_ABCE = ½ AC² sin∠A.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования