ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108057
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD (AD – основание) диагональ AC равна сумме оснований, а угол между диагоналями равен 60°.
Докажите, что трапеция равнобедренная.


Подсказка

Постройте параллелограмм AKBC.


Решение

Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке O. Построим параллелограмм ABCD. Тогда  ∠KBD = ∠AOD,  AK = BC  и
KB = AC = BC + AD = AK + AD = KD.  Значит, треугольник KBD – равнобедренный  (KB = KD).  Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника – острые, то угол KBD не может быть равен 120°. Следовательно, он равен 60°, и треугольник KBD – равносторонний. Поэтому
BD = KB = AC,  то есть диагонали трапеции равны между собой.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4337
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1991/1992
Номер 13
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .