|
|
 |
Условие
Отрезки AB и CD лежат на двух сторонах угла BOD (A лежит между O и B, C – между O и D). Через середины отрезков AD и BC проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках M и N (M, A и B лежат на одной стороне угла; N, C и D – на другой).
Докажите, что
OM : ON = AB : CD.
Подсказка
Достройте треугольник ACD до параллелограмма ACDE.
Решение
Пусть P – середина отрезка BC, Q – середина AD. На продолжении отрезка CQ за точку Q отложим отрезок QE, равный CQ. Тогда AEDC – параллелограмм, а точка Q – его центр. Поскольку PQ – средняя линия треугольника BCE, то PQ || BE, а значит, MN || BE. Кроме того, AE || ON, поэтому треугольники ABE и OMN подобны. Следовательно, OM : ON = AB : AE = AB : CD.
Замечания
1. Можно также применить теорему Менелая к треугольникам OAD и OBC.
2. 3 балла.
