ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108087
Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Биссектриса угла ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. Пусть RS – средняя линия треугольника, параллельная AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что T лежит на биссектрисе угла B треугольника.


Решение

  Пусть  AB > BC  (случай  AB < BC  разбирается аналогично). Будем считать, что R лежит на AC, S – на BC (рис. слева).

  Первый способ. Обозначим  BC = a,  AC = b,  AB = c,  ½ (a + b + c) = p.  Тогда  RQ = b/2 – (p – c) = ½ (c – a).
  Поскольку треугольники PAQ и TRQ подобны, а треугольник PAQ равнобедренный, то  RQ = RT,  а  ST = RS – RQ = c/2 – ½ (c – a) = a/2 = BS.
  Значит, треугольник TSB – равнобедренный и  ∠ SBT = ∠STB = ∠TBA.
  Следовательно, BT – биссектриса угла B треугольника ABC.

               

  Второй способ. Пусть O – центр вписанной окружности треугольника ABC, T' – точка пересечения биссектрисы угла ABC с прямой PQ (рис. справа). Обозначим углы треугольника ABC через α, β и γ соответственно. Тогда  ∠OCQ = γ/2,  ∠OT'Q = ∠BPT' + ∠PBT' = (90° + α/2) + β/2 = 180° – γ/2.
  Следовательно, точки O, T', Q и C лежат на одной окружности, а так как  ∠OQC = 90°,  то OC – диаметр этой окружности. Значит,
BT'C = ∠OT'C = 90°.  Поскольку T'S – медиана треугольника BT'C, проведённая из вершины прямого угла, то  ∠BT'S = ∠SBT' = ∠PBT',  поэтому
ST' || AB.  Следовательно, точка T' лежит на средней линии SR треугольника ABC, а значит, совпадает с точкой T.

Замечания

1. Еще несколько решений можно найти в книге Л.Э. Медникова и А.В. Шаповалова "Турнир городов: мир математики в задачах" (МЦМНО, 2012).

2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4367
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1998/1999
Номер 20
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .