|
|
 |
Условие
Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. Пусть RS – средняя линия треугольника, параллельная AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что T лежит на биссектрисе угла B треугольника.
Решение
Пусть AB > BC (случай AB < BC разбирается аналогично). Будем считать, что R лежит на AC, S – на BC (рис. слева).
Первый способ. Обозначим BC = a, AC = b, AB = c, ½ (a + b + c) = p. Тогда RQ = b/2 – (p – c) = ½ (c – a).
Поскольку треугольники PAQ и TRQ подобны, а треугольник PAQ равнобедренный, то RQ = RT, а ST = RS – RQ = c/2 – ½ (c – a) = a/2 = BS.
Значит, треугольник TSB – равнобедренный и ∠
SBT = ∠STB = ∠TBA.
Следовательно, BT – биссектриса угла B треугольника ABC.
Второй способ. Пусть O – центр вписанной окружности треугольника ABC, T' – точка пересечения биссектрисы угла ABC с прямой PQ (рис. справа). Обозначим углы треугольника ABC через α, β и γ соответственно. Тогда
∠OCQ = γ/2, ∠OT'Q = ∠BPT' + ∠PBT' = (90° + α/2) + β/2 = 180° – γ/2.
Следовательно, точки O, T', Q и C лежат на одной окружности, а так как ∠OQC = 90°, то OC – диаметр этой окружности. Значит,
∠BT'C = ∠OT'C = 90°. Поскольку T'S – медиана треугольника BT'C, проведённая из вершины прямого угла, то ∠BT'S = ∠SBT' = ∠PBT', поэтому
ST' || AB. Следовательно, точка T' лежит на средней линии SR треугольника ABC, а значит, совпадает с точкой T.
Замечания
1. Еще несколько решений можно найти в книге Л.Э. Медникова и А.В. Шаповалова "Турнир городов: мир математики в задачах" (МЦМНО, 2012).
2. 6 баллов.
