Задача 108094

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Окружность Ω₁ проходит через центр окружности Ω₂. Из точки C, лежащей на Ω₁, проведены касательные к Ω₂, вторично пересекающие Ω₁ в точках A и B. Докажите, что отрезок AB перпендикулярен линии центров окружностей.

Решение

Пусть O – центр окружности Ω₂. Достаточно доказать, что дуги AO и BO равны. Но это очевидно: на них опираются равные вписанные ориентированные углы  ∠(AC, CO)  и  ∠(OC, CB),  образованные прямой CO и проведёнными из C к Ω₂ касательными.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6214
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	26
Дата	2004/2005
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	68
Год	2005
вариант
Класс	9
задача
Номер	3