Задача 108099

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Перегруппировка площадей ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На стороне AB треугольника ABC взята точка P, отличная от точек A и B, а на сторонах BC и AC – точки Q и R соответственно, причём четырёхугольник PQCR – параллелограмм. Пусть отрезки AQ и PR пересекаются в точке M, а отрезки BR и PQ – в точке N. Докажите, что сумма площадей треугольников AMP и BNP равна площади треугольника CQR.

Решение

  По теореме о пропорциональных отрезках  RM : MP = CQ : QB = AP : PB = AR : RC = PN : NQ,  поэтому  S_RMQ = S_PNR  (эти площади составляют равные доли от S_PQR, см. рис.).
  Из трапеции ARQP получаем, что  S_AMP = S_RMQ,  а из трапеции BQRP –  S_BMP = S_QNR  (см. задачу 54961). Следовательно,
S_AMP + S_BNP = S_RMQ + S_QNR = S_PNR + S_QNR = S_PQR = S_CQR.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6219