|
|
|
Условие
На сторонах единичного квадрата как на гипотенузах построены во внешнюю сторону прямоугольные треугольники. Пусть A, B, C и D – вершины их прямых углов, а O1, O2,
O3 и O4 – центры вписанных окружностей этих треугольников. Докажите, что
а) площадь четырёхугольника ABCD не превосходит 2;
б) площадь четырёхугольника O1O2O3O4 не превосходит 1.
Решение
Пусть KLMN – исходный квадрат, O – его центр, P, Q – середины сторон KL и MN, KAL, LBM, MCN, NDK – построенные треугольники. Напомним, что площадь четырёхугольника равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними, то есть не превосходит половины произведения длин диагоналей.
а) Достаточно доказать, что длины диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD не больше 2. Но AC ≤ AP + PQ + QC = 0,5 + 1 + 0,5 = 2
(AP = CQ = 0,5, так как медиана, проведённая к гипотенузе, вдвое меньше гипотенузы). Аналогично BD ≤ 2.
б) Заметим, что ∠KO1L = 90° + ½ ∠KAL = 135°. Значит, точка O1 лежит на окружности, описанной вокруг квадрата KLMN. То же верно для точек O2, O3 и O4. Следовательно, диагонали четырёхугольника O1O2O3O4 не превосходят диаметра этой окружности, который равен
Замечания
Баллы: 3 + 3
