Условие
Треугольник ABC с острым углом ∠A = α вписан в окружность. Её диаметр, проходящий через основание высоты треугольника, проведённой из вершины B, делит треугольник ABC на две части одинаковой площади. Найдите угол B.
Решение
Пусть H – основание высоты треугольника ABC, проведённой из вершины B, M – середина AC. Рассмотрим случай, когда указанный в условии диаметр пересекает сторону AB (в точке O). Пусть O – точка пересечения этого диаметра со стороной AB. Если точка O совпадает с B, то совпадают точки H и M. Тогда треугольник ABC – равнобедренный, значит, ∠B = 180° – 2∠BAC = 180° – 2α.
Если точки O и B различны, то поскольку
SAMB = ½ SABC = SAHO, отрезки OH и BM пересекаются в некоторой точке K. Тогда
SBOK = SMKH ⇒ SBOH = SBMH. Поскольку BH – общее основание равновеликих треугольников BOH и BMH, то их высоты, опущенные из вершин O и M на это основание, равны.
Следовательно, MO || BH. Поэтому прямая OM – серединный перпендикуляр к хорде AC. Значит, на этой прямой лежит центр окружности. Таким образом, точка O принадлежит двум различным диаметрам окружности, поэтому является её центром. Тогда ∠B = 90° – ∠A = 90° – α.
Если указанный в условии диаметр пересекает сторону BC, то ∠A = 90° > α, что невозможно.
Ответ
180° – 2α или 90° – α.
