Задача 108117
|
|
 |
Условие
Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают
описанную около него окружность в точках E и D соответственно.
Отрезок DE пересекает стороны AB и BC в точках F и G .
Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC .
Докажите, что четырёхугольник BFIG – ромб.
Решение
Из теоремы о вписанных углах и условия задачи следует, что
поэтому при симметрии относительно прямой DE прямая BE переходит в прямую AE . Аналогично докажем что при этой симметрии прямая BD переходит в прямую DC . Значит, точка B пересечения прямых BE и BD переходит в точку I пересечения прямых AE и DC . Поэтому прямая FG проходит через середину диагонали BI четырёхугольника BFIG и перпендикулярна ей. Кроме того, BI – биссектриса угла FBG , значит, BFIG – ромб.
