Задача 108152

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Биссектриса угла ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Вписанная окружность треугольника ABC  (AB > BC)  касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно, RS – средняя линия, параллельная стороне AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что точка T лежит на биссектрисе угла B треугольника ABC.

Решение

  Пусть  BC = a,  AC = b,  AB = c,  полупериметр треугольника ABC равен p, а точки R и S лежат на сторонах AC и BC соответственно. Тогда  CQ = p – c,
CR = ^b/₂,  QR = ^b/₂ – ½ (a + b – c) = ½ (c – a).
  Поскольку  SR || AB,  то  ∠RQT = ∠AQP = ∠APQ = ∠RTQ,  значит, треугольник RQT – равнобедренный:  RT = QR = ½ (c – a).  Следовательно,
ST = RS – RT = ^b/₂ – ½ (c – a) = ^a/₂ = SB,  то есть треугольник BST – равнобедренный. Значит,  ∠SBT = ∠BTS = ∠PBT.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	1999
вариант
Класс	9
задача
Номер	5
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6502