ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108160
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне AB параллелограмма ABCD (или на её продолжении) взята точка M, для которой  ∠MAD = ∠AMO,  где O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что  MD = MC.


Решение

Пусть K – точка, симметричная точке A относительно перпендикуляра MN к прямой AB (см. рис.). Тогда AM = MK и, следовательно, MO – средняя линия треугольника CAK. Поэтому  CK || MO  и  ∠MKC = ∠AMO = ∠MAD.  Значит, при симметрии относительно MN прямая AD переходит в прямую KC. Точка, симметричная точке D относительно MN, находится, с одной стороны, на перпендикуляре DC к MN, а с другой – на образе KC прямой AD при этой симметрии, то есть совпадает с C. Таким образом, отрезки MD и MC симметричны относительно MN и потому равны.

Замечания

1. 3 балла.

2. Это решение не зависит от положения точки M на прямой AB. Другие решения требуют разбора нескольких случаев расположения точки M. Эта трудность исчезает, если положение точки M определено более точно. Например, на Регате уточнялось, что "точка M лежит на продолжении стороны AB за точку B".

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4363
олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2014/15
класс
Класс 8
задача
Номер 8.4.2
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1997/1998
Номер 19
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .