ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108163
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Точка M лежит на прямой AB, причём  ∠AMO = ∠MAD.
Докажите, что точка M равноудалена от точек C и D.


Подсказка

Соедините середины сторон AB и CD.


Решение

  Пусть P и Q – середины сторон соответственно AB и CD. Тогда  PQ || AD,  а O – середина PQ. Предположим, что точка M не лежит на отрезке AP. Тогда  ∠MPO = ∠MAD = ∠AMO.  Поэтому треугольник  MO = PO,  то есть в треугольнике PMQ медиана MO равна половине стороны PQ. Значит,
MQMP || CD,  то есть MQ – серединный перпендикуляр к отрезку CD. Следовательно, точка M равноудалена от точек C и D.
  Аналогично разбирается случай, когда точка M лежит на отрезке AP.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6510
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 61
Год 1998
вариант
Класс 8
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .