Условие
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AC, AB и BC в точках K, M и N соответственно. Медиана BB1 треугольника пересекает MN в точке D. Докажите, что точка O лежит на прямой DK.
Решение
Продолжим радиус OK вписанной окружности треугольника ABC до пересечения с MN в точке L. Через точку L проведём прямую, параллельную стороне AC и обозначим через A1 и C1 точки пересечения этой прямой со сторонами AB и BC соответственно. Ясно, что KL ⊥ A1C1. Из точек L и M отрезок OA1 виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OA1. Вписанные углы MLA1 и MOA1 этой окружности равны. Аналогично ∠NOC1 = ∠NLC1, а так как ∠MLA1 = ∠NLC1, то ∠MOA1 = ∠NOC1. Значит, прямоугольные треугольники MOA1 и NOC1 равны по катету и острому углу. Следовательно, треугольник A1OC1 – равнобедренный. Его высота OL является медианой, поэтому L – середина A1C1. С другой стороны, поскольку BB1 – медиана треугольника ABC, а A1C1 || AC, то точка D пересечения BB1 и A1C1 – также середина A1C1. Значит, точка L совпадает с точкой D, что и требовалось.
