Докажите, что остроугольный треугольник полностью покрывается тремя квадратами, построенными на его сторонах как на диагоналях.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Покрытия ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что остроугольный треугольник полностью покрывается тремя квадратами, построенными на его сторонах как на диагоналях.

Решение

Пусть K_C – квадрат, построенный на стороне AB треугольника ABC как на диагонали. Аналогично определяются квадраты K_A и K_B . Пусть O – точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Поскольку BAC < 90^o и ABC < 90^o , то BAO < 45^o и ABO < 45^o . Значит, все точки треугольника AOB лежат внутри квадрата K_C , т.е. треугольник AOB покрывается квадратом K_C . Аналогично, треугольники BOC и AOC покрываются квадратами K_A и K_B соответственно.

Источники и прецеденты использования