Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точки O₁ и O₂ – центры описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC).  Описанные окружности треугольников ABC и O₁O₂A, пересекаются в точках A и D. Докажите, что прямая BD касается описанной окружности треугольника O₁O₂A.

   Решение

---

На большей стороне AC треугольника ABC взята точка N так, что серединные перпендикуляры к отрезкам AN и NC пересекают стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Докажите, что центр O описанной окружности треугольника ABC лежит на описанной окружности треугольника KBM.

   Решение

---

В первый день Маша собрала на 25% грибов меньше, чем Вася, а во второй – на 20% больше, чем Вася. За два дня Маша собрала грибов на 10% больше, чем Вася. Какое наименьшее количество грибов они могли собрать вместе?

   Решение

---

Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD , касается его сторон DA , AB , BC и CD в точках K , L , M и N соответственно. Пусть S1 , S2 , S3 и S4 – окружности, вписанные в треугольники AKL , BLM , CMN и DNK соответственно. К окружностям S1 и S2 , S2 и S3 , S3 и S4 , S4 и S1 проведены общие касательные, отличные от сторон четырёхугольника ABCD . Докажите, что четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными, – ромб.

   Решение

---

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S₁ проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S₂ в точках B и C, а через точку D окружности S₂ – прямые DM и DN, пересекающие S₁ в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если  AB = DE,  то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике ABC  (AC = BC)  точка O – центр описанной окружности, точка I – центр вписанной окружности, а точка D на стороне BC такова, что прямые OD и BI перпендикулярны. Докажите, что прямые ID и AC параллельны.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC  (AC = BC)  точка O – центр описанной окружности, точка I – центр вписанной окружности, а точка D на стороне BC такова, что прямые OD и BI перпендикулярны. Докажите, что прямые ID и AC параллельны.

Решение

  Если данный треугольник равносторонний (точки O и I совпадают), то утверждение очевидно.
  Проведём высоту CE. Пусть точка O лежит между точками I и C  (∠B > 60°),  а прямые OD и BI пересекаются в точке K. Положим  ∠B = ∠A = 2α.  Тогда  ∠EBI = ∠DBI = α,  BIE = 90° – α = ∠BDK,  ∠BIO = 180° – ∠BIE = 90° + α.

  Сумма противоположных углов BIO и BDO четырёхугольника KDBO равна 180°, то есть он – вписанный. Вписанные углы BDI и BOI его описанной окружности равны. Кроме того, BOI – внешний угол равнобедренного треугольника BOC. Значит,  ∠BDI = ∠BOI = 2∠BCE = 180° – 4α = ∠DCA.  Следовательно, DI || AC .
  Случай, когда точка I лежит между точками O и C  (∠B < 60°)  разбирается аналогично.

Источники и прецеденты использования