Задача 108185

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Смуров М.В.

На стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки E и F (точка E ближе к точке B , чем точка F ). Известно, что BAE = CDF и EAF = FDE . Докажите, что FAC = EDB .

Решение

Поскольку EAF = FDE , то из точек A и D , лежащих по одну сторону от прямой EF , отрезок EF виден под одним и тем же углом. Значит, точки A , D , E и F лежат на одной окружности. Поэтому AEF + ADF = 180^o . Поскольку AEF – внешний угол треугольника ABE , то

ABE = AEF - BAE = (180^o- ADF) - CDF =

=180^o-( ADF + CDF) = 180^o- ADC.
Значит, четырёхугольник ABCD – вписанный. Поэтому BAC = BDC . Следовательно,
FAC = BAC - BAE - EAF = BDC - CDF - FDE = EDB,
что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1996
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	96.5.10.1
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6532