Задача 108188

Темы:    [ Векторы помогают решить задачу ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Замечательное свойство трапеции ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

В треугольнике ABC известно, что AA1 – медиана, AA2 – биссектриса, K – такая точка на AA1 , для которой KA2 || AC . Докажите, что AA2 KC .

Решение

Обозначим векторы и через и соответственно, а их модули – через b и c . Тогда

= (+ ).
По свойству биссектрисы треугольника
= = ,
поэтому
= + .
Поскольку KA2 || AC , то
= = AK=· AA1,
а т.к. векторы и сонаправлены, то
= = ((+ ))= + .
Тогда
= += -++ = - .
Значит,
· = (+) ( - )=

=()2· b2 - ()2· c2 =0.
Следовательно, AA2 KC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6535
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	58
Год	1995
вариант
Класс	11
задача
Номер	3