Условие
Хорда CD окружности с центром O перпендикулярна её диаметру AB, а хорда AE делит пополам радиус OC.
Докажите, что хорда DE делит пополам хорду BC.
Подсказка
Если хорда AE пересекает радиус OC в точке M, а хорда DE – хорду BC в точке N, то точки M, N, E и C лежат на одной окружности.
Решение
Докажем более общее утверждение: если хорда AE пересекает
радиус OC в точке M, а хорда DE – хорду BC в точке N, то MN || OB.
Заметим, что дуги AC и AD, не содержащие точку B, симметричны относительно прямой AB и, следовательно, равны. Поэтому равны и углы AEC и AED, вписанные в окружность и опирающиеся на эти дуги. Углы AEC и ABC равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, а углы ABC и OCB равны, так как треугольник OCB – равнобедренный. Следовательно, ∠AED = ∠OCB, то есть ∠MEN = ∠MCN, а это означает, что точки M, N, E и C лежат на одной окружности. Поэтому ∠MNC = MEC = ∠OBC. Значит, MN || OB.
В нашей задаче M – середина OC. Следовательно, N – середина BC.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6541 |
