Задача 108195

Темы:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 6- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Терешин Д.А.

Точки A2 , B2 и C2 – середины высот AA1 , BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC . Найдите сумму углов B2A1C2 , C2B1A2 и A2C1B2 .

Подсказка

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, M — середина стороны AB. Докажите, что точки H, M, B₂, A₂ и C₁ лежат на одной окружности.

Решение

Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC , M – середина стороны AB . Поскольку MB2 и MA2 – средние линии прямоугольных треугольников AB1B и AA1B , то

MB2H = AB1B= 90^o, MA2H = BA1A= 90^o,
поэтому из точек B2 , A2 и C1 отрезок MH виден под прямым углом. Значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MH . Черырёхугольник A2C1B2H – вписанный, поэтому
A2C1B2 = 180^o- A2HB2 = 180^o- A1HB1 = ACB.
Аналогично докажем, что
B2A1C2 = BAC, C2B1A2 = ABC.
Следовательно,
A2C1B2+ B2A1C2+ C2B1A2= ACB + BAC + ABC = 180^o.

Ответ

180^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6542
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1995
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	95.5.9.6