ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108199
Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри прямого угла KLM взята точка P. Окружность S1 с центром O1 касается сторон LK и LP угла KLP в точках A и D соответственно, а окружность S2 с центром O2 такого же радиуса касается сторон угла MLP, причём стороны LP – в точке B. Оказалось, что точка O1 лежит на отрезке AB. Пусть C – точка пересечения прямых O2D и KL. Докажите, что BC – биссектриса угла ABD.


Решение

  Поскольку  O1D = O2B  и  O1D || O2B  (как перпендикуляры к прямой LP), то DO1BO2 – параллелограмм, поэтому  CO2 || AB || LE,  где E – точка касания окружности S2 с прямой LM. Значит, CLEO2 – прямоугольник. Поэтому  CL = O2E = O2B.  Точки C и B лежат на окружности с диаметром LO2. Вписанные углы CBL и BCO2 этой окружности опираются на равные хорды CL и O2B и поэтому равны, а так как  CO2 || AB,  то  ∠CBL = ∠BCO2 = ∠ABC.
  Следовательно, BC – биссектриса угла ABD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6546
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1994
Этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 94.4.9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .