|
|
 |
Условие
Окружность с центром O вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB, BC и AC в точках E, F и D соответственно. Прямые AO и CO пересекают прямую EF в точках M и N. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника OMN, точка O и точка D лежат на одной прямой.
Решение
Лемма. Пусть P и Q – точки касания со сторонами соответственно XY и XZ окружности с центром I, вписанной в треугольник XYZ; T – точка пересечения прямых YI и PQ. Тогда ∠YTZ = 90°.
Доказательство. Пусть точка T (рис. слева) лежит вне отрезка PQ (например, на продолжении PQ за точку Q). Обозначим углы треугольника XYZ через α, β и γ. Из равнобедренного треугольника XPQ находим, что ∠XPT = ∠XPQ = 90° – α/2.
Поскольку XPT – внешний угол треугольника YPT, то
∠YTP = ∠XPT – ∠PYT = 90° – α/2 – β/2 = γ/2 = ∠IZQ.
Из точек T и Z, лежащих по одну сторону от прямой IQ, отрезок IQ виден под одним и тем же углом, равным γ/2. Значит, эти точки лежат на одной окружности, а так как вписанный в эту окружность угол IQZ – прямой, то IZ – диаметр окружности. Следовательно, ∠YTZ = ∠ITZ = 90°.
Аналогично разбирается случай, когда точка T лежит на отрезке PQ.
Продолжим отрезки AN и CM до пересечения в точке K (рис. справа). По лемме CN и AM – высоты треугольника AKC, а O – его ортоцентр. Поскольку OD ⊥ AC, то точка D – основание третьей высоты треугольника AKC. Точки N и M лежат на окружности с диаметром OK, поэтому центр этой окружности, как и точка O лежит на прямой KD.
