ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108202
Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Сонкин М.

Окружность с центром O вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB, BC и AC в точках E, F и D соответственно. Прямые AO и CO пересекают прямую EF в точках M и N. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника OMN, точка O и точка D лежат на одной прямой.


Решение

  Лемма. Пусть P и Q – точки касания со сторонами соответственно XY и XZ окружности с центром I, вписанной в треугольник XYZ; T – точка пересечения прямых YI и PQ. Тогда  ∠YTZ = 90°.
  Доказательство. Пусть точка T (рис. слева) лежит вне отрезка PQ (например, на продолжении PQ за точку Q). Обозначим углы треугольника XYZ через α, β и γ. Из равнобедренного треугольника XPQ находим, что  ∠XPT = ∠XPQ = 90° – α/2.  Поскольку XPT – внешний угол треугольника YPT, то
YTP = ∠XPT – ∠PYT = 90° – α/2β/2 = γ/2 = ∠IZQ.
  Из точек T и Z, лежащих по одну сторону от прямой IQ, отрезок IQ виден под одним и тем же углом, равным γ/2. Значит, эти точки лежат на одной окружности, а так как вписанный в эту окружность угол IQZ – прямой, то IZ – диаметр окружности. Следовательно,  ∠YTZ = ∠ITZ = 90°.
  Аналогично разбирается случай, когда точка T лежит на отрезке PQ.

           

  Продолжим отрезки AN и CM до пересечения в точке K (рис. справа). По лемме CN и AM – высоты треугольника AKC, а O – его ортоцентр. Поскольку  ODAC,  то точка D – основание третьей высоты треугольника AKC. Точки N и M лежат на окружности с диаметром OK, поэтому центр этой окружности, как и точка O лежит на прямой KD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6549
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1994
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
задача
Номер 94.4.11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .