ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108203
Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Теорема синусов ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Трапеция ABCD такова, что на её боковых сторонах AD и BC существуют такие точки P и Q соответственно, что  ∠APB = ∠CPD,  ∠AQB = ∠CQD.
Докажите, что точки P и Q равноудалены от точки пересечения диагоналей трапеции.


Решение

  Пусть точка B' симметрична вершине B относительно прямой AD. Тогда  ∠APB' = ∠APB = ∠DPC.  Значит, точки B', P и C лежат на одной прямой.
  По теореме синусов  AB : BP = sin∠APB : sin∠BAP = sin∠CPD : sin∠CDP = CD : PC,  поэтому  B'P : PC = BP : PC = AB : CD.
  Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Из подобия треугольников AOB и COD следует, что  AO : OC = AB : CD = B'P : PC.  Поэтому  AB' || OP.  Значит, треугольники COP и CAB' подобны и  OP = AB'·OC/CA = AB·CD/AB+CD.
  Аналогично  OQ = AB·CD/AB+CD = OP.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6550
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1994
Этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 94.5.9.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .