ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108204
Темы:    [ Неравенства с медианами ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a , b и c – стороны треугольника, ma , mb и mc – медианы, проведённые к этим сторонам, D – диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что

+ + 6D.


Решение

Пусть AB=c , AC=b , BC=a . Продолжим медианы AA1=ma , BB1=mb и CC1=mc треугольника ABC до пересечения с описанной окружностью треугольника в точках A2 , B2 и C2 соответственно. Тогда

AA2 D, BB2 D, CC2 D,

т.е.
ma+A1A2 D, mb+B1B2 D, mc+C1C2 D.

По теореме о произведениях пересекающихся хорд окружности
A1A2· AA1 = BA1· A1C A1A2 = = = .

Аналогично,
B1B2 =, C1C2 =.

Подставим эти выражения в полученные ранее неравенства и сложим их почленно:
(ma+A1A2) + (mb+B1B2) + (mc+C1C2) =


=(ma+)+ (mb+)+ (mc+) =


= + + 3D,

а т.к. по формуле для медианы треугольника
4ma2+a2 = 2b2+2c2, 4mb2+b2 = 2a2+2c2, 4mc2+c2 = 2a2+2b2,

то
+ + 3D.

Следовательно,
+ + 6D.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6551
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1994
Этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 94.5.10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .