Задача 108204

Темы:    [ Неравенства с медианами ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Терешин Д.А.

Пусть a , b и c – стороны треугольника, m_a , m_b и m_c – медианы, проведённые к этим сторонам, D – диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что

+ + 6D.

Решение

Пусть AB=c , AC=b , BC=a . Продолжим медианы AA1=m_a , BB1=m_b и CC1=m_c треугольника ABC до пересечения с описанной окружностью треугольника в точках A2 , B2 и C2 соответственно. Тогда

AA2 D, BB2 D, CC2 D,
т.е.
m_a+A1A2 D, m_b+B1B2 D, m_c+C1C2 D.
По теореме о произведениях пересекающихся хорд окружности
A1A2· AA1 = BA1· A1C A1A2 = = = .
Аналогично,
B1B2 =, C1C2 =.
Подставим эти выражения в полученные ранее неравенства и сложим их почленно:
(m_a+A1A2) + (m_b+B1B2) + (m_c+C1C2) =

=(m_a+)+ (m_b+)+ (m_c+) =

= + + 3D,
а т.к. по формуле для медианы треугольника
4m_a2+a2 = 2b2+2c2, 4m_b2+b2 = 2a2+2c2, 4m_c2+c2 = 2a2+2b2,
то
+ + 3D.
Следовательно,
+ + 6D.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6551
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1994
Этап
Вариант	5
класс
Класс	10
задача
Номер	94.5.10.3