Задача 108205

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Касающиеся окружности ] [ Композиции гомотетий ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Терешин Д.А.

Каждая из окружностей S1 , S2 и S3 касается внешним образом окружности S (в точках A1 , B1 и C1 соответственно) и двух сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Решение

При гомотетии H_A1 , переводящей окружность S1 в окружность S , прямые AB и AC перейдут в параллельные им прямые, касающиеся окружности S . Точка пересечения A прямых AB и AC перейдёт в некоторую точку A2 пересечения их образов. Значит, точки A , A1 и A2 лежат на одной прямой. Аналогично, гомотетии H_B1 и H_C1 , переводящие S2 и S3 в S , переводят соответственно прямые AB , BC и AC , BC в касательные к окружности S , соответственно параллельные этим прямым. При этом возникает треугольник A2B2C2 , гомотетичный треугольнику ABC (стороны треугольника A2B2C2 соответственно параллельны сторонам треугольника ABC ). Значит, прямые AA2 , BB2 и CC2 пересекаются в одной точке – центре гомотетии, переводящей треугольник ABC в треугольник A2B2C2 , а т.к. точки A1 , B1 и C1 лежат соответственно на прямых AA2 , BB2 и CC2 , то прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в этой же точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6552
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1994
Этап
Вариант	5
класс
Класс	10
задача
Номер	94.5.10.7