|
|
 |
Условие
Каждая из окружностей S1 , S2 и S3
касается внешним образом окружности S (в точках
A1 , B1 и C1 соответственно) и двух
сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что
прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются
в одной точке.
Решение
При гомотетии HA1 , переводящей окружность S1 в окружность S , прямые AB и AC перейдут в параллельные им прямые, касающиеся окружности S . Точка пересечения A прямых AB и AC перейдёт в некоторую точку A2 пересечения их образов. Значит, точки A , A1 и A2 лежат на одной прямой. Аналогично, гомотетии HB1 и HC1 , переводящие S2 и S3 в S , переводят соответственно прямые AB , BC и AC , BC в касательные к окружности S , соответственно параллельные этим прямым. При этом возникает треугольник A2B2C2 , гомотетичный треугольнику ABC (стороны треугольника A2B2C2 соответственно параллельны сторонам треугольника ABC ). Значит, прямые AA2 , BB2 и CC2 пересекаются в одной точке – центре гомотетии, переводящей треугольник ABC в треугольник A2B2C2 , а т.к. точки A1 , B1 и C1 лежат соответственно на прямых AA2 , BB2 и CC2 , то прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в этой же точке.
