Задача 108207

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть A0 – середина стороны BC треугольника ABC , а A' – точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность с центром в точке A0 и проходящую через A' . На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если окружность касается описанной окружности в точке дуги BC , не содержащей A , то ещё одна из построенных окружностей касается описанной.

Решение

Лемма. Пусть I – центр окружности, вписанной в треугольник XYZ . Если прямая XI пересекает описанную окружность треугольника в точке T , то треугольники ITY и ITZ – равнобедренные.
Доказательство. Обозначим YXZ = x , XYZ = y (рис.1). Центр окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения его биссектрис. Значит, YI и XI – биссектрисы углов XYZ и YXZ , а т.к. YIT – внешний угол треугольника XIY , то

YIT = YXI + XYI = + .
Вписанные углы TYZ и TXZ опираются на одну и ту же дугу, поэтому
IYT = IYZ + TYZ = IYZ + TXZ = + .
Значит, YIT = IYT . Аналогично TZI = TIZ . Следовательно, YT=IT=TZ . Лемма доказана.

Перейдём к нашей задаче. Пусть окружность σ касается описанной окружности треугольника ABC в точке F (рис.2). Тогда F – середина дуги BC , не содержащей точку A . Значит, AF – биссектриса угла BAC , поэтому AF проходит через центр I окружности, вписанной в треугольник ABC . Тогда по доказанной лемме FB=FI . Поскольку A0F BC и A0F=A0A' (как радиусы окружности σ ), то A0FA' – равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому A0A'F = 45^o . Тогда
IA'F = IA'A0+ A0A'F = 90^o + 45^o = 135^o,

BA'F = 360^o-90^o-135^o = 135^o.
Следовательно, треугольники BA'F и IA'F равны по двум сторонам и тупому углу. Если r – радиус окружности вписанной в треугольник ABC , то из доказанного равенства треугольников следует, что BA'= A'I = r . Тогда IBA' = 45^o , а т.к. BI – биссектриса угла ABC , то ABC = 90^o , т.е. треугольник ABC – прямоугольный. Проводя те же рассуждения в обратном порядке, убеждаемся, что аналогичная окружность с центром в середине второго катета AB также касается описанной.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6554