Условие
На диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD выбрана
точка K, для которой KD = DC, ∠BAC = ½ KDC, ∠DAC = ½ ∠KBC.
Докажите, что ∠KDA = ∠BCA или ∠KDA = ∠KBA.
Решение
Проведём биссектрису угла KDC до пересечения с прямой AB в точке O. Обозначим ∠BAC = α, ∠DAC = β, ∠ADK = φ. Возможны три случая.
1) Точка O лежит на продолжении стороны AB за точку B. Поскольку ∠ODC = ∠OAC = α, то точки A, O, C и D лежат на одной окружности (рис. слева), поэтому ∠DOC = ∠DAC = β, ∠ACO = ADO = α + φ.
Поскольку DO – биссектриса угла KDC и KD = DC, то DO – серединный перпендикуляр к отрезку KC. Значит, ∠KOD = ∠DOC = β,
∠OKC = ∠OCK = ∠ACO = α + φ.
Из точек B и O, лежащих по одну сторону от прямой KC, отрезок KC виден под углом 2β, значит, четырёхугольник KBOC – вписанный. Следовательно, ∠BCA = ∠KOA = ∠OKC – ∠OAC = φ,
то есть ∠BCA = ∠KDA.
∠ABK = ∠OKC – ∠BAC = 90° – β – α, то есть ∠KDA = ∠KBA.
3) Точка O лежит на стороне AB. Покажем, что этот случай невозможен. Предположим противное (рис. справа). Как и раньше, ∠ OAC = ∠ODC = α. Поэтому четырёхугольник AOCD – вписанный, значит, ∠COD = ∠CAD = β, ∠KOC = 2∠COD = 2β = ∠KBC.
Следовательно, четырёхугольник KOBC – вписанный. Но касательная к описанной окружности равнобедренного треугольника KOC, проведённая в точке O, параллельна AC, а точка B лежит выше неё. Поэтому точка B не может лежать на той же окружности. Противоречие.
