Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вася задумал восемь клеток шахматной доски, никакие две из которых не лежат в одной строке или в одном столбце. За ход Петя выставляет на доску восемь ладей, не бьющих друг друга, а затем Вася указывает все ладьи, стоящие на задуманных клетках. Если количество ладей, указанных Васей на этом ходе, чётно (то есть 0, 2, 4, 6 или 8), то Петя выигрывает; иначе все фигуры снимаются с доски и Петя делает следующий ход. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть?

   Решение

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка M, а внутри треугольника AMD точка N, причём  ∠MNA + ∠ MCB = ∠MND + ∠MBC = 180°.
Докажите, что прямые MN и AB параллельны.

Подсказка

Рассмотрите параллелограмм ABMM'.

Решение

  Обозначим  ∠MNA = α,  ∠MND = β.  Построим параллелограмм ABMM'. Тогда CDM'M – тоже параллелограмм.

  Четырёхугольник ANDM' вписанный, поскольку  ∠AM'D = ∠BMC = 180° – (180° – α) – (180° – β) = 180° – ∠AND.  Поэтому
∠M'ND = ∠M'AD = ∠MBC = 180° – β.  Значит,  ∠MND + ∠M'ND = β + (180° – β) = 180°.  Следовательно, точки M, N и M' лежат на одной прямой, а так как  MM' || AB,  то  MN || AB.

Источники и прецеденты использования