|
|
 |
Условие
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причём AO = CO. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если а) AM = CN; б) BM = BN?
Решение
а) Рассмотрим треугольник ABC, в котором ∠B = 60°, ∠A = 45°, ∠ACB = 75°.
Отметим на серединном перпендикуляре к стороне AC точку O, для которой ∠OAC = ∠OCA = 30° (см. рис.). Пусть луч AO пересекает сторону BC в точке N, а луч CO пересекает сторону AB в точке M. Тогда ∠ANC = 75°, ∠OMA = 105°.
∠OM'C = ∠OMA = 105°, ∠CM'N = 180° – ∠OM'C = 180° – 105° = 75° = ∠CNM'.
Значит, треугольник CNM' – равнобедренный. Следовательно, CN = CM' = AM.
Таким образом, неравнобедренный треугольник ABC удовлетворяет условию пункта а).
б) Предположим, что AB < BC. Пусть серединный перпендикуляр l к стороне AC пересекает прямую BC в точке K (см. рис.). Тогда
∠KAC = ∠ACK = ∠C < ∠A, значит, точка K лежит на отрезке BC. Кроме того, поскольку AO = CO, то точка O лежит на прямой l. Заметим, что точка L пересечения AK и CM симметрична точке N относительно l. Ясно, что точка L лежит на отрезке MC.
С другой стороны, поскольку AKC – внешний угол треугольника ABK, то ∠LKN = ∠AKC > ∠ABK = ∠MBN.
Значит, угол при вершине равнобедренного треугольника LKN больше угла при вершине равнобедренного треугольника MBN. Поэтому ∠KNL < ∠BNM, а это означает, что точка L лежит на продолжении отрезка MC за точку M. Противоречие.
Аналогично AB не может быть больше BC.
Ответ
а) Не обязательно; б) обязательно.
