ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108229
Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Доказательство от противного ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причём  AO = CO.  Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если   а)  AM = CN;   б)  BM = BN?


Решение

  а) Рассмотрим треугольник ABC, в котором  ∠B = 60°,  ∠A = 45°,  ∠ACB = 75°.
  Отметим на серединном перпендикуляре к стороне AC точку O, для которой  ∠OAC = ∠OCA = 30°  (см. рис.). Пусть луч AO пересекает сторону BC в точке N, а луч CO пересекает сторону AB в точке M. Тогда  ∠ANC = 75°,  ∠OMA = 105°.

  При симметрии относительно серединного перпендикуляра к стороне AC точка M переходит в точку M', лежащую на отрезке ON. При этом
OM'C = ∠OMA = 105°,  ∠CM'N = 180° – ∠OM'C = 180° – 105° = 75° = ∠CNM'.
  Значит, треугольник CNM' – равнобедренный. Следовательно,  CN = CM' = AM.
  Таким образом, неравнобедренный треугольник ABC удовлетворяет условию пункта а).

  б) Предположим, что  AB < BC.  Пусть серединный перпендикуляр l к стороне AC пересекает прямую BC в точке K (см. рис.). Тогда
KAC = ∠ACK = ∠C < ∠A,  значит, точка K лежит на отрезке BC. Кроме того, поскольку  AO = CO,  то точка O лежит на прямой l. Заметим, что точка L пересечения AK и CM симметрична точке N относительно l. Ясно, что точка L лежит на отрезке MC.
  С другой стороны, поскольку AKC – внешний угол треугольника ABK, то  ∠LKN = ∠AKC > ∠ABK = ∠MBN.
  Значит, угол при вершине равнобедренного треугольника LKN больше угла при вершине равнобедренного треугольника MBN. Поэтому  ∠KNL < ∠BNM,  а это означает, что точка L лежит на продолжении отрезка MC за точку M. Противоречие.
  Аналогично AB не может быть больше BC.


Ответ

а) Не обязательно;  б) обязательно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6576
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1993
Этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 93.4.9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .