|
|
 |
Условие
На диагонали AC ромба ABCD взята произвольная точка E, отличная от точек A и C, а на прямых AB и BC
– точки N и M соответственно, причём
AE = NE и CE = ME. Пусть K – точка пересечения прямых AM и CN. Докажите, что точки K, E и D лежат на одной прямой.
Решение
Рассмотрим случай, когда точки N и M лежат на сторонах ромба. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Обозначим ∠BAC = ∠BCA = α.
Первый способ. Пусть окружности, описанные около равнобедренных треугольников ANE и CME пересекаются в точке K1, отличной от E. Тогда ∠AK1E = ∠ANE = α, ∠EK1M = 180° – α. Значит, точки A, K1 и M лежат на одной прямой. Аналогично, точки C, K1 и N также лежат на одной прямой. Следовательно,
точка K1 совпадает с точкой K пересечения прямых AM и CN.
Поскольку ∠ANE = α = ∠BCE, точки B, N, E и C лежат на одной окружности. Значит, ∠
BEN = ∠BCN = ∠MCK = ∠MEK.
Поскольку точки B и D симметричны относительно прямой AC, то
∠DEA = ∠BEA = ∠BEN + ∠AEN = ∠BEN + (180° – 2α) = ∠MEK + (180° – 2α) = ∠MEK + ∠CEM = ∠KEC. Следовательно, точки K, E и D лежат на одной прямой.
Второй способ. (П. Липкин) Поскольку ∠CEN = ∠CEM + ∠MEN = (180° – 2α) + ∠MEN = ∠AEN + ∠MEN = ∠AEM, треугольники CEN и MEA равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, ∠ENC = ∠KAE. Поэтому точки A, N, K, E лежат на одной окружности. Аналогично, точки C, M, K, E также лежат на одной окружности. Следовательно, ∠AKE = ∠ANE = α = ∠EMC = ∠CKE, то есть KE – биссектриса угла AKC. Поскольку ∠ADC = 180° – 2α, а ∠AKC = 2α, четырёхугольник AKCD – вписанный. Продолжение биссектрисы KE треугольника AKC пересекает описанную окружность этого четырёхугольника в середине дуги AC, не содержащей точки K, то есть в точке D.
