ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108238
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Площадь параллелограмма ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник A0B0C0 . На отрезке A0B0 отмечены точки A1 , A2, ,An , а на отрезке B0C0 – точки C1 , C2, , Cn , причём все отрезки AiCi+1 ( i=0,1, n-1 ), параллельны между собой и все отрезки CiAi+1 ( i=0,1, n-1 ) – тоже. Отрезки C0A1 , A1C2 , A2C1 и C1A0 ограничивают некоторый параллелограмм, отрезки C1A2 , A2C3 , A3C2 и C2A1 – тоже и т.д. Докажите, что сумма площадей всех n-1 получившихся параллелограммов меньше половины площади треугольника A0B0C0 .

Решение

Пусть D0 – точка пересечения A0C1 и C0A1 , D1 – точка пересечения A1C2 и C1A2 , D2 – точка пересечения A2C3 и C2A3 и т.д. Пусть прямая, проведённая через точку D1 параллельно A0B0 , пересекает A0C1 в точке F , а прямая, проведённая через точку D1 параллельно B0C0 , пересекает C0A1 в точке G . Тогда четырёхугольник A0A1D1F – параллелограмм, равновеликий параллелограмму D0A1D1C1 , т.к. эти параллелограммы имеют общие основание A1D1 и высоту, проведённую к этому основанию. Аналогично, равновелики параллелограммы C0GD1C1 и D0A1D1C1 . Значит,

SD0A1D1C1 = (SA0A1D1F+SC0GD1C1) < SA0A1D1C1C0D0.

Аналогично,
SD1A2D2C2 < SA1A2D2C2C1D1.

Поэтому сумма площадей всех n-1 параллелограммов, о которых говорится в условии задачи, меньше
(SΔ A0B0C0 - SA0D0C0) < SΔ A0B0C0,

что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6585
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1996
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 96.4.10.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .