Задача 108238
|
|
 |
Условие
Дан треугольник A0B0C0 . На отрезке A0B0 отмечены точки A1 , A2, ,An , а на отрезке B0C0 – точки C1 , C2, , Cn , причём все отрезки AiCi+1 ( i=0,1, n-1 ), параллельны между собой и все отрезки CiAi+1 ( i=0,1, n-1 ) – тоже. Отрезки C0A1 , A1C2 , A2C1 и C1A0 ограничивают некоторый параллелограмм, отрезки C1A2 , A2C3 , A3C2 и C2A1 – тоже и т.д. Докажите, что сумма площадей всех n-1 получившихся параллелограммов меньше половины площади треугольника A0B0C0 .Решение
Пусть D0 – точка пересечения A0C1 и C0A1 , D1 – точка пересечения A1C2 и C1A2 , D2 – точка пересечения A2C3 и C2A3 и т.д. Пусть прямая, проведённая через точку D1 параллельно A0B0 , пересекает A0C1 в точке F , а прямая, проведённая через точку D1 параллельно B0C0 , пересекает C0A1 в точке G . Тогда четырёхугольник A0A1D1F – параллелограмм, равновеликий параллелограмму D0A1D1C1 , т.к. эти параллелограммы имеют общие основание A1D1 и высоту, проведённую к этому основанию. Аналогично, равновелики параллелограммы C0GD1C1 и D0A1D1C1 . Значит,Аналогично,
Поэтому сумма площадей всех n-1 параллелограммов, о которых говорится в условии задачи, меньше
что и требовалось доказать.
