Задача 108238

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Площадь параллелограмма ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Медников Л.Э., Сонкин М.

Дан треугольник A0B0C0 . На отрезке A0B0 отмечены точки A1 , A2, ,A_n , а на отрезке B0C0 – точки C1 , C2, , C_n , причём все отрезки A_iC_i+1 ( i=0,1, n-1 ), параллельны между собой и все отрезки C_iA_i+1 ( i=0,1, n-1 ) – тоже. Отрезки C0A1 , A1C2 , A2C1 и C1A0 ограничивают некоторый параллелограмм, отрезки C1A2 , A2C3 , A3C2 и C2A1 – тоже и т.д. Докажите, что сумма площадей всех n-1 получившихся параллелограммов меньше половины площади треугольника A0B0C0 .

Решение

Пусть D0 – точка пересечения A0C1 и C0A1 , D1 – точка пересечения A1C2 и C1A2 , D2 – точка пересечения A2C3 и C2A3 и т.д. Пусть прямая, проведённая через точку D1 параллельно A0B0 , пересекает A0C1 в точке F , а прямая, проведённая через точку D1 параллельно B0C0 , пересекает C0A1 в точке G . Тогда четырёхугольник A0A1D1F – параллелограмм, равновеликий параллелограмму D0A1D1C1 , т.к. эти параллелограммы имеют общие основание A1D1 и высоту, проведённую к этому основанию. Аналогично, равновелики параллелограммы C0GD1C1 и D0A1D1C1 . Значит,

S_D0A1D1C1 = (S_A0A1D1F+S_C0GD1C1) < S_A0A1D1C1C0D0.
Аналогично,
S_D1A2D2C2 < S_A1A2D2C2C1D1.
Поэтому сумма площадей всех n-1 параллелограммов, о которых говорится в условии задачи, меньше
(S_{Δ A}0B0C0 - S_A0D0C0) < S_{Δ A}0B0C0,
что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6585
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1996
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	96.4.10.6