Задача 108240

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E , что AB=AD и BE=EC ( E между A и D ). Точка F – середина дуги BC (не содержащей точки A ) окружности, описанной около треугольника ABC . Докажите, что точки B , E , D и F лежат на одной окружности.

Решение

Обозначим через α углы ABD и ADB при основании равнобедренного треугольника ABD . Тогда

BAD = 180^o-2α, BFC = 2 BAD = 360^o-4α.
Поскольку F – середина дуги, не содержащей точки A , то
CBF = BCF = BFC = (360^o-4α) = 90^o-α.
Точки точки F и E равноудалены от концов отрезка BC ( BE=EC и BF=CF ), поэтому EF – серединный перпендикуляр к отрезку BC . Значит,
BFE = 90^o- CBF = 90^o-(90^o-α)=α.
Тогда из точек F и D , лежащих по одну сторону от прямой BE , отрезок BE виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки B , E , D и F лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6587
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1999
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	99.4.9.2