ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108244
Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Биссектриса угла ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Сонкин М.

Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O. Прямая, симметричная AB относительно CE, пересекает прямую, симметричную BC относительно AD, в точке K. Докажите, что  KOAC.


Решение

  Пусть прямые KE и KD пересекают прямую AC в точках M и N соответственно. Поскольку CE – биссектриса, то при симметрии относительно прямой CE прямая AC переходит в прямую BC. По условию при этой симметрии прямая KM переходит в прямую AB, значит, точка пересечения M прямых AC и KM переходит при этой симметрии в точку пересечения прямых BC и AB, то есть в точку B. Поэтому треугольник CME переходит в треугольник CBE. Следовательно,  ∠KMN = ∠EMC = ∠EBC = ∠ABC.
  Аналогично ∠KNM = ∠ABC.  Значит, треугольник KMN – равнобедренный,  KM = MN.  Кроме того, прямая CE – серединный перпендикуляр к отрезку BM, а прямая AD – серединный перпендикуляр к отрезку BN, значит, точка O их пересечения – центр описанной окружности треугольника MBN. Поэтому точка O, как и точка K лежит на серединном перпендикуляре l к отрезку MN.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6591
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2000
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 00.4.8.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .