Турист вышел утром из палатки, прошел 10 км на юг, потом 10 км на восток, 10 км на север и оказался у своей палатки. В палатке он обнаружил медведя.
а) Какого цвета был медведь?
б) Мог ли там оказаться не медведь, а пингвин?

   Решение

Точки A' и B' — образы точек A и B при инверсии относительно некоторой окружности. Докажите, что точки A , B , A' и B' лежат на одной окружности.

   Решение

Две команды КВН участвуют в игре из четырёх конкурсов. За каждый конкурс каждый из шести судей выставляет оценку – целое число от 1 до 5; компьютер находит среднее арифметическое оценок за конкурс и округляет его с точностью до десятых. Победитель определяется по сумме четырёх полученных компьютером значений. Может ли оказаться, что сумма всех оценок, выставленных судьями, у проигравшей команды больше, чем у выигравшей?

   Решение

Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика?

   Решение

Темы:    [ Правило произведения ] [ Сочетания и размещения ] [ Комбинаторика орбит ] [ Остовы многогранных фигур ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика?

Решение 1

Если кубик зафиксировать, то поместить 8 разных шариков в его вершины можно 8! способами. Но кубик можно поворачивать: каждую из шести его граней можно сделать нижней и поставить на нее четырьмя способами. Поэтому каждому кубику соответствуют  6·4 = 24  "раскраски", и общее число моделей равно  8! : 24 = 8·7·6·5 = 1680.

Решение 2

Сначала "наклеим" белый шарик. Повернём кубик так, чтобы белый шарик оказался в левом нижнем переднем углу. Теперь выберем 3 шарика для соседних вершин (это можно сделать     способами). "Наклеим" один из них и повернем кубик так, чтобы это шарик оказался в правом нижнем переднем углу (а белый остался на месте). Теперь есть два способа наклеить отбранные два шарика в оставшиеся две вершины, соседние с белой. И в каждом из них еще 4! способов "наклеить" оставшиеся четыре шарика на оставшиеся четыре вершины. Всего     моделей.

Ответ

1680 моделей.

Источники и прецеденты использования