|
|
 |
Условие
Пусть O, I, M и H – соответственно центры описанной, вписанной окружности, точка пересечения медиан и точка пересечения высот треугольника ABC. Докажите, что если какие-то две из этих точек совпадают, то этот треугольник равносторонний.
Подсказка
Если медиана и биссектриса треугольника, проведённые из одной вершины, совпадают, то этот треугольник равнобедренный.
Решение
1) Пусть совпадают точки O и M. Тогда каждый из трёх равных отрезков OA, OB и OC равен ⅔ соответствующей медианы. Значит, три медианы треугольника равны. Следовательно, этот треугольник равносторонний.
2) Пусть совпадают точки M и I. Тогда, например, медиана и
биссектриса треугольника ABC, проведённые из вершины A, совпадают,
поэтому AB = AC. Остальное аналогично.
3) Пусть совпадают точки O и H. Тогда, например, высота и
медиана треугольника ABC, проведённые из вершины A, совпадают,
поэтому AB = AC. Остальное аналогично.
Аналогично рассматриваются остальные три случая.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1335 |
