Задача 108460

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса угла ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, прямая AI пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D.
Выразите отрезки AI и ID через R, r и α, где R и r – радиусы соответствено описанной и вписанной окружностей треугольника ABC, а  α = ∠A.

Решение

  Из условия следует, что АР – биссектриса угла А, то есть  ∠ВAР = ^α/₂  (см. рис.). Поэтому  ВР = 2R sin ^α/₂.  По лемме о трезубце (см. задачу 53119)  IP = ВР.

  Пусть M – проекция точки I на AB. Из прямоугольного треугольника AMI находим, что  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1337