Информация о задаче

Задача 108479

Темы:	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
Темы:	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Углы треугольника ABC удовлетворяют равенству

cos²A + cos²B + cos²C = 1.

Найдите площадь этого треугольника, если радиусы вписанной и описанной окружностей равны $\sqrt{3}$ и 3 $\sqrt{2}$ соответственно.

Подсказка

Докажите, что данный треугольник — прямоугольный.

Решение

Умножим на 2 обе части данного равенства, заменим $\angle$ C = 180^o - $\angle$ A - $\angle$ B и воспользумся формулами тригонометрии:

2 cos²A + 2 cos²B + 2 cos²(A + B) = 2 $\displaystyle \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow$ 1 + cos 2A + 1 + cos 2B + 2 cos²(A + B) = 2 $\displaystyle \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow$ cos 2A + cos 2B + 2^.cos²(A + B) = 0 $\displaystyle \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow$ 2 cos(A + B)cos(A - B) + 2 cos²(A + B) = 0 $\displaystyle \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow$ 2 cos(A + B)(cos(A - B) + cos(A + B)) = 0 $\displaystyle \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow$ 4 cos(A + B)cos A cos B = 0.

Из последнего равенства следует, что один из углов треугольника ABC равен 90^o, т.е. треугольник ABC — прямоугольный.

Предположим, что $\angle$ C = 90^o. Пусть R = 3 $\sqrt{2}$ — радиус описанной окружности треугольника ABC, r = $\sqrt{3}$ — радиус вписанной окружности, O — её центр, K, M и N — точки касания со сторонами AB, BC и AC — соответственно. Тогда

AB = 2R = 6 $\displaystyle \sqrt{2}$ , S_ABC = 2S_AOK + 2S_BOK + S_OMCN =

= 2(S_AOK + S_BOK) + S_OMCN = 2S_AOB + S_OMCN = AB^.OK + OM² =

= AB^.r + r² = 2Rr + r² = 6 $\displaystyle \sqrt{2}$ ^. $\displaystyle \sqrt{3}$ + 3 = 6 $\displaystyle \sqrt{6}$ + 3.

Ответ

6 $\sqrt{6}$ + 3.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2885