Задача 108504

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD отмечены точки P и Q так, что прямая PQ параллельна AD, а отрезок PQ делится диагоналями трапеции на три равные части. Найдите длину оонования BC, если известно, что  AD = a,  PQ = m,  а точка пересечения диагоналей трапеции лежит внутри четырёхугольника BPCQ.

Решение

Пусть  m = 3n,  прямая PQ пересекает диагонали AC и BD в точках E и F, прямая, проведённая через вершину D параллельно AB, пересекает PQ в точке K, а BC – в точке L. Из подобия треугольников BAC и PAE, BDL и FDK и теоремы о пропорциональных отрезках следует, что  BC : PE = BL : FK,  то есть
^b/_n = ^a/_a–2n.  Отсюда  b = ^3an/_3a–6n = ^am/_3a–2m. 

Ответ

^am/_3a–2m.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3989