Информация о задаче

Задача 108556

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны точки A(5; - 1), B(4; - 8), C(- 4; - 4). Найдите координаты точки пересечения высот треугольника ABC.

Подсказка

Применив условие перпендикулярности двух прямых ( k₁^.k₂ = - 1), найдите уравнения рямых, на которых лежат две высоты треугольника. Затем найдите координаты точки пересечения этих прямых, решив соответствующую систему уравнений.

Решение

Найдём уравнение прямой BC по двум точкам:

$\displaystyle {\frac{y-(-8)}{-4-(-8)}}$ = $\displaystyle {\frac{x-4}{-4-4}}$ , или y = - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ x - 6.

Тогда её угловой коэффициент k₁ = - ${\frac{1}{2}}$ . Если k₂ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту AP, то k₁^.k₂ = - 1. Поэтому

k₂ = - $\displaystyle {\frac{1}{k_{1}}}$ = 2.

Уравнение прямой, содержащей высоту AP треугольника ABC, найдём по точке A(5; - 1) и угловому коэффициенту k₂ = 2:

y + 1 = 2(x - 5), или y = 2x - 11.

Найдём уравнение прямой AC по двум точкам:

$\displaystyle {\frac{y-(-1)}{-4-(-1)}}$ = $\displaystyle {\frac{x-5}{-4-5}}$ , или y = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ x - $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{3}}$ .

Тогда её угловой коэффициент k₃ = ${\frac{1}{3}}$ . Если k₄ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту BQ, то k₄^.k₃ = - 1. Поэтому

k₄ = - $\displaystyle {\frac{1}{k_{3}}}$ = - 3.

Уравнение прямой, содержащей высоту BQ треугольника ABC, найдём по точке B(4; - 8) и угловому коэффициенту k₄ = - 3:

y + 8 = - 3(x - 4), или y = - 3x + 4.

Координаты точки H пересечения высот треугольника ABC найдём, решив систему уравнений, задающих прямые AP и BQ:

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} y=2x-11\\ y = -3x+4.\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} y=2x-11\\ y = -3x+4.\\ \end{array}$

Получим: x = 3, y = - 5.

Ответ

(3; - 5).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4247