Задача 108588

Темы:    [ Площадь четырехугольника ] [ Длины сторон (неравенства) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что сумма расстояний от любой точки до всех вершин выпуклого четырёхугольника площади 1, не может быть меньше 2 .

Подсказка

Воспользуйтесь неравенством треугольника и формулой площади четырёхугольника через диагонали у углу между ними.

Решение

Пусть произвольная точка O удалена от вершин A , B , C и D четырёхугольника на расстояния a , b , c и d соответственно, а диагонали AC и BD равны соответственно x и y . Поскольку

a+c = OA+OC AC = x, b+d = OB + OD BD = y,
то
a+b+c+d = (a+c)+(b+d) x+y 2.
Пусть S – площадь четырёхугольника, а ϕ – угол между его диагоналями. Тогда
S = xy sin ϕ xy.
Поэтому xy 2S . Следовательно,
a+b+c+d x+y 2 2 = 2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4264