Задача 108589

Темы:    [ Неравенства для площади треугольника ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что для произвольного треугольника справедливо неравенство R· P 4S , где R – радиус окружности, описанной около треугольника, P и S – периметр и площадь треугольника.

Подсказка

Через вершины треугольника проведите прямые, параллельные его противолещащим сторонам.

Решение

Через вершины треугольника ABC проведём прямые, параллельные его противолежащим сторонам. Получим треугольник A'B'C' , для которого стороны треугольника ABC являются средними линиями ( AB || A'B' , BC || B'C' , AC || A'C' ). Тогда

S_{Δ A'B'C'} = 4· S_{Δ ABC} = 4S, A'B'= 2AB, B'C'=2BC, A'C' =2AC.
Соединим центр O описанной окружности треугольника ABC с вершинами треугольника A'B'C' . В каждом из треугольников A'OB' , B'OC' и A'OC' высоты, проведённые из вершины O не больше, чем OC , OA и OB соответственно. Следовательно,
4S = S_{Δ A'B'C'}= S_{Δ A'OB'}+S_{Δ B'OC'}+S_{Δ A'OC'}

A'B'· OC + B'C'· OA +A'C'· OB =

= (2AB· R + 2BC· R + 2AC· R) = R· P.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4265