Задача 108599
|
|
 |
Условие
Из точки O, лежащей внутри выпуклого n-угольника A1A2...An, проведены отрезки ко всем вершинам: OA1, OA2, ..., OAn . Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами n-угольника – острые, причём
∠OA1An ≤ ∠OA1A2, ∠OA2A1 ≤ ∠OA2A3, ...,
∠OAn–1An–2 ≤ ∠OAn–1An, ∠OAnAn–1 ≤ ∠OAnA1. Докажите, что O – центр окружности, вписанной в n-угольник.
Решение
Опустим перпендикуляры OB1 и OB2 на A1An и A1A2; из первого неравенства следует, что OB1 ≤ OB2. Аналогично OB1 ≤ OB2 ≤ OB3 ≤ ... ≤ OBn ≤ OB1.
Поскольку первый член совпадает с последним, все неравенства являются равенствами. Это означает, что O равно отстоит от всех сторон n-угольника, то есть является центром вписанной окружности.
Замечания
4 балла
