ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108599
Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Неравенства для элементов треугольника. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из точки O, лежащей внутри выпуклого n-угольника A1A2...An, проведены отрезки ко всем вершинам: OA1, OA2, ..., OAn . Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами n-угольника – острые, причём  ∠OA1An ≤ ∠OA1A2,  ∠OA2A1 ≤ ∠OA2A3,  ...,
OAn–1An–2 ≤ ∠OAn–1An,  ∠OAnAn–1 ≤ ∠OAnA1.  Докажите, что O – центр окружности, вписанной в n-угольник.


Решение

  Опустим перпендикуляры OB1 и OB2 на A1An и A1A2; из первого неравенства следует, что  OB1OB2.  Аналогично  OB1OB2OB3 ≤ ... ≤ OBn ≤ OB1.
  Поскольку первый член совпадает с последним, все неравенства являются равенствами. Это означает, что O равно отстоит от всех сторон n-угольника, то есть является центром вписанной окружности.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4275
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 15
Дата 1993/1994
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .