ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108605
Темы:    [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Векторы (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. Перпендикуляры, опущенные из точки O на стороны треугольника, продолжены до пересечения с окружностью в точках K, M и P. Докажите, что     где Q – центр вписанной окружности треугольника ABC.


Решение

Ясно, что K, M и P – середины дуг BC, AC и AB (пусть в таком порядке). BM и CP – биссектрисы углов B и C. Пусть     Все слагаемые равны по модулю, поэтому вектор     направлен по биссектрисе угла KOM, которая параллельна биссектрисе CP (прямые OK и OM перпендикулярны сторонам угла C). Значит, вектор     лежит на прямой PC, то есть точка N лежит на биссектрисе CP. Аналогично доказывается, что точка N лежит и на биссектрисе BM, то есть совпадает с точкой Q пересечения биссектрис.

Замечания

10 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4291
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1983/1984
Номер 5
вариант
Вариант осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .