Условие
Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. Перпендикуляры, опущенные из точки O на стороны треугольника, продолжены до пересечения с окружностью в точках K, M и P. Докажите, что 
где Q – центр вписанной окружности треугольника ABC.
Решение
Ясно, что K, M и P – середины дуг BC, AC и AB (пусть в таком порядке). BM и CP – биссектрисы углов B и C. Пусть 
Все слагаемые равны по модулю, поэтому вектор 
направлен по биссектрисе угла KOM, которая параллельна биссектрисе CP (прямые OK и OM перпендикулярны сторонам угла C). Значит, вектор 
лежит на прямой PC, то есть точка N лежит на биссектрисе CP. Аналогично доказывается, что точка N лежит и на биссектрисе BM, то есть совпадает с точкой Q пересечения биссектрис.
Замечания
10 баллов
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
4291 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
Турнир |
|
Дата |
1983/1984 |
|
Номер |
5 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, 9-10 класс |
|
Задача |
|
Номер |
3 |
