Задача 108611
|
|
 |
Условие
Пусть a, b, c – длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC, γ = ∠C. Докажите, что c ≥ (a + b) sin γ/2.
Решение 1
Пусть l – длина биссектрисы угла C, h – длина высоты, опущенной на сторону AB. Тогда cl ≥ ch = 2SABC = SACK + SBCK = al sin γ/2 + bl sin γ/2.
Решение 2
На продолжении стороны BC за точку C отложим отрезок CD = b. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что в равнобедренном треугольнике ACD угол при вершине D равен γ/2. Пусть H – проекция точки B на прямую AD. Тогда c = AB ≥ BH = BD sin ∠ADB = (BC + CD) sin γ/2 = (a + b) sin γ/2.
Замечания
5 баллов
