Задача 108633

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В ромбе ABCD на стороне BC нашлась такая точка E, что  AE = CD.  Отрезок ED пересекается с описанной окружностью треугольника AEB в точке F. Докажите, что точки A, F и C лежат на одной прямой.

Решение

∠FEC = ∠BAF,  так как четырёхугольник ABEF – вписанный. Поскольку ABC – равнобедренный треугольник, а AECD – равнобедренная трапеция, то
∠BAC = ∠BCA = ECA = ∠CED = ∠FEC = ∠BAF.  Следовательно, точки A, F и C лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4449