Задача 108640

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На плоскости даны две пересекающиеся окружности. Точка A – одна из двух точек пересечения. В каждой окружности проведён диаметр, параллельный касательной в точке A к другой окружности, причём эти диаметры не пересекаются. Докажите, что концы этих диаметров лежат на одной окружности.

Решение

  Пусть BC – диаметр окружности с центром O₁, параллельный касательной в точке A к окружности с центром O₂, DE – соответствующий диаметр окружности с центром O₂. Докажем, что точка F пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам BC и DE – центр окружности, проходящей через точки B, C, D и E.
  Прямые O₁A и O₂F перпендикулярны одной и той же прямой DE (радиус O₁A перпендикулярен касательной к окружности с центром O₂, значит, он перпендикулярен и прямой DE, параллельной этой касательной). Аналогично прямые O₂A и O₁F перпендикулярны одной и той же прямой BC. Поэтому AO₁FO₂ – параллелограмм, и  O₂F = OA = O₁B,  O₁F = O₂A = O₂D.
  Значит, прямоугольные треугольники BO₁F и DO₂F равны по двум катетам. Следовательно,  FB = FD,  а так как точка F лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам BC и DE, то  FC = FB = FD = FE,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4456