Задача 108657

Темы:    [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Вписанную окружность спроецировали на стороны треугольника. Докажите, что шесть концов проекций принадлежат одной окружности.

Решение

Заметим, что точка касания вписанной окружности со стороной треугольника – середина проекции окружности на эту сторону, а проекция окружности равна диаметру окружности. Значит, расстояние от центра окружности до конца каждой проекции в раз больше радиуса r окружности. Следовательно, если O – центр окружности, то все шесть указанных точек лежат на окружности с центром O и радиусом r .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4483