ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 108658
УсловиеПусть B' — точка описанной окружности остроугольного треугольника ABC , диаметрально противоположная вершине B ; I — центр вписанной окружности треугольника ABC ; M — точка касания вписанной окружности со стороной AC . На сторонах AB и BC выбраны соответственно точки K и L , причём KB=MC и LB=AM . Докажите, что прямые B'I и KL перпендикулярны.РешениеДостаточно доказать, что B'K2-B'L2=IK2-IL2 . Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC равен R , полупериметр треугольника равен p , а вписанная окружность радиуса r касается сторон AB и BC в точках X и Y соответственно. Обозначим AB=c , AC=b , BC=a . Тогда Из прямоугольных треугольников ABB' , CBB' , KPI и LQI находим, что поэтому Что и требовалось доказать. Отложим от точки B вектор , равный вектору . Достаточно доказать, что BT KL . Поскольку BB' — диаметр окружности, то поэтому A и C — проекции точки B' на стороны AB и BC соответственно. Пусть T' — точка, симметричная точке T относительно биссектрисы BI угла ABC . Обозначим Тогда проекции AX и CY отрезка IB' на стороны AB и BC равны соответственно IB' cosα и IB' cos ( ABC -α) , проекции отрезка BT' на эти же стороны равны соответственно BT' cos ( ABC -α) и BT' cos α . Значит, проекции вектора на стороны AB и BC равны проекциям вектора на стороны BC и AB соответственно, а т.к. AX=AM=BL и CY=CM=BK , то проекции вектора на стороны BC и AD равны соответственно и . Поэтому и четырёхугольник KBLT' — вписанный. Тогда Следовательно, BT KL . Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|