ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108668
Темы:    [ Замечательное свойство трапеции ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC . На отрезке AM выбрана точка K , на отрезке BM – точка L , на отрезке BK – точка N . При этом KL || AB , MN || BC , CL = 2KM . Докажите, что CN – биссектриса угла ACL .

Решение

Поскольку M – середина AM и MN || BC , то точка N лежит на средней линии треугольника ABC . Значит, точка P пересечения прямой MN со стороной AB – середина AB . Рассмотрим трапецию ABLK . Известно, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, точка пересечения диагоналей и середины оснований лежат на одной прямой. Поэтому N – точка пересечения диагоналей трапеции ABLK . Треугольник ANB подобен треугольнику LNK , а треугольник ABM – треугольнику KLM , поэтому

= = = = .

Следовательно, CN – биссектриса треугольника ACL .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4494

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .