Задача 108668

Темы:    [ Замечательное свойство трапеции ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC . На отрезке AM выбрана точка K , на отрезке BM – точка L , на отрезке BK – точка N . При этом KL || AB , MN || BC , CL = 2KM . Докажите, что CN – биссектриса угла ACL .

Решение

Поскольку M – середина AM и MN || BC , то точка N лежит на средней линии треугольника ABC . Значит, точка P пересечения прямой MN со стороной AB – середина AB . Рассмотрим трапецию ABLK . Известно, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, точка пересечения диагоналей и середины оснований лежат на одной прямой. Поэтому N – точка пересечения диагоналей трапеции ABLK . Треугольник ANB подобен треугольнику LNK , а треугольник ABM – треугольнику KLM , поэтому

= = = = .
Следовательно, CN – биссектриса треугольника ACL .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4494